Факториал числа — это произведения натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
Выражение в задаче состоит из разделенных знаком деления двух частей: (х + 1)! и (х ? 1)!
Факториал выражения (х + 1) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до числа (х + 1) или, другими словами, это произведение всех натуральных чисел от 1 до х, включая само число х и, вдобавок, это произведение нужно еще умножить на число (х + 1), то есть нужно сделать еще один шаг в «цепочке» произведений.
Запишем вышесказанное формулой.
Для упрощения понимания задачи допустим, что х больше 3, хотя он может быть любым натуральным числом.
Итак, имеем равенство:
(х + 1)! = 1 · 2 · 3 ·… · х · (х + 1) .
Рассмотрим выражение 1 · 2 · 3 · ... · х · (х + 1) подробнее.
Часть выражения до скобок — это ни что иное, как факториал х, так как эта часть есть произведения от 1 до х включительно, то есть:
1 · 2 · 3 · ... · х = х!
Заменим эту часть выражения в равенстве
(х + 1)! = 1 · 2 · 3 · ... · х · (х + 1),
получим:
(х + 1)! = х! · (х + 1)
Мы видоизменили «первую» часть выражения в задаче.
Рассмотрим теперь «вторую» часть.
Факториал выражения (х ? 1) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до числа (х ? 1) или, другими словами, это произведение всех натуральных чисел от 1 до х, включая само число х, НО это произведение, вдобавок, нужно разделить на число х, то есть нужно сделать шаг назад в «цепочке» произведений.
Запишем вышесказанное формулой:
(х ? 1)! =
| х! |
| х |
А теперь подставим наши видоизмененные выражения в исходное выражение задачи:
| (х + 1)! |
| (х — 1)! |
| х! |
| х |
=
| Х! · (х + 1) · х |
| Х! |
| 1 · (х + 1) · х |
| 1 |
= (х +1) · х = х2 + х.
Итак,
| (х + 1)! |
| (х — 1)! |
Проверим. Предположим, что х = 5, тогда:
| (5 + 1)! |
| (5 — 1)! |
| (6)! |
| (4)! |
| 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 |
| 1 · 2 · 3 · 4 |
720 |
| 24 |
30 = 30.
Перейти к комментарию
